Question

【題目】已知函數 (a為常數)有兩個極值點．

(1)求實數a的取值范圍；

(2)設f(x)的兩個極值點分別為x1，x2，若不等式f(x1)＋f(x2)＜λ(x1＋x2)恒成立，求λ的最小值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】試題分析：（1）先求導數，轉化為對應一元二次方程有兩個正根，再根據實根分布列不等式組，解得實數a的取值范圍；（2）分離參數轉化為對應函數最值問題： 最大值，再化簡為a的函數，利用導數可得其值域，即得λ的最小值．

試題解析：(1)f′(x)＝＋x－a＝ (x＞0)，

于是f(x)有兩個極值點等價于二次方程x2－ax＋a＝0有兩正根，

設其兩根為x1，x2，則，解得a＞4，

不妨設x1＜x2，此時在(0，x1)上f′(x)＞0，在(x1，x2)上f′(x)＜0，在(x2，＋∞)上f′(x)＞0.

因此x1，x2是f(x)的兩個極值點，符合題意．

所以a的取值范圍是(4，＋∞)．

(2)f(x1)＋f(x2)＝alnx1＋x－ax1＋alnx2＋x－ax2

＝alnx1x2＋ (x＋x)－a(x1＋x2)

＝alnx1x2＋ (x1＋x2)2－x1x2－a(x1＋x2)＝a(lna－a－1)．

于是＝lna－a－1，

令φ(a)＝lna－a－1，則φ′(a)＝－.

因為a＞4，所以φ′(a)＜0.于是φ(a)＝lna－a－1在(4，＋∞)上單調遞減，

因此＝φ(a)＜φ(4)＝ln4－3，且可無限接近ln4－3.

又因為x1＋x2＞0，故不等式f(x1)＋f(x2)＜λ(x1＋x2)等價于＜λ，

所以λ的最小值為ln4－3.