Question

已知空間三點A（-2，0，2），B（-1，1，2），C（-3，0，4），設

a

=

AB

，

b

=

AC

．
（1）設|

c

|=3，

c

∥

BC

，求

c

．
（2）求

a

與

b

的夾角．
（3）若k

a

+

b

與k

a

-2

b

互相垂直，求k．

Answer 1

考點：平面向量數量積的運算

專題：計算題,平面向量及應用

分析：（1）運用向量共線的坐標表示和向量的模的公式，計算即可得到；
（2）運用向量的夾角公式和夾角范圍，即可得到；
（3）運用向量垂直的條件，得到k的方程，計算即可得到．

解答： 解：（1）由于

a

=

AB

，

b

=

AC

，
則

BC

=

AC

-

AB

=（-2，-1，2），
由于

c

∥

BC

，設

c

=k（-2，-1，2）．
由|

c

|=3，則9=k²（4+1+4），即有k=±1．
則

c

=（-2，-1，2）或（2，1，-2）；
（2）

a

=

AB

=（1，1，0），

b

=

AC

=（-2，-1，2），

a

•

b

=-2-1+0=-3，|

a

|=

2

，|

b

|=3，
cos＜

a

，

b

＞=

a • b

| a |•| b |

=

-3

3 2

=-

2

2

，
則

a

與

b

的夾角為：135°；
（3）k

a

+

b

與k

a

-2

b

互相垂直，
則（k

a

+

b

）•（k

a

-2

b

）=0，
則k²

a

2-2

b

2-k

a

•

b

=0，
即有2k²-2×9+3k=0，
解得，k=

-3±3 17

4

點評：本題考查空間向量的坐標運算，考查空間向量是數量積的坐標表示，以及向量的模和向量共線和垂直的表示，考查運算能力，屬于中檔題．