Question

數列{a_n}（n∈N^*）的前n項和S_n滿足S_n=n²+2n+1．
（1）求a_n；
（2）設b_n=a_n•2ⁿ（n∈N^*）的前n項和為T_n，求T_n．

Answer 1

考點：等差數列與等比數列的綜合

專題：等差數列與等比數列

分析：（1）根據當n=1時a₁=S₁，n≥2時a_n=S_n-S_n-1，代入S_n=n²+2n+1化簡求出a_n；
（2）由（1）和條件求出b_n，對n進行分類討論后，利用錯位相減法求出前n項和為T_n．

解答： 解：（1）①當n=1時，a₁=S₁=1+2+1=4；
②當n∈N^*且n≥2時，an=Sn-Sn-1=(n2+2n+1)-[(n-1)2+2(n-1)+1]=2n+1
∴an=

4 2n+1

(n=1) (n≥2)

（2）由（1）得，b_n=a_n•2ⁿ=

8，n=1 (2n+1)•22，n≥2

，
①當n=1時，T₁=8；當n=2時，T₂=28；
②當n∈N^*且n≥3時，T_n=a1•21+a2•22+a3•23+…+an-1•2n-1+an•2n
∴2•T_n=a1•22+a2•23+a3•24+…+an-1•2n+an•2n+1
∴（-1）•T_n=a1•21+(a2-a1)•22+(a3-a2)•23+(a4-a3)•24+…+(an-an-1)•2n-an•2n+1
∴（-1）•T_n=8+2²+2•2³+2•2⁴+…+2•2ⁿ-（2n+1）•2ⁿ⁺¹=8+2²+2•（2³+2⁴+…+2ⁿ）-（2n+1）•2ⁿ⁺¹
=12+2•

23(1-2n-2)

1-2

-(2n+1)•2n+1=12+2ⁿ⁺²-2⁴-n•2ⁿ⁺²-2ⁿ⁺¹
∴Tn=n•2n+2-2n+1+4
由①②得，Tn=n•2n+2-2n+1+4（n∈N^*）．

點評：本題考查了數列S_n與a_n的關系式，以及錯位相減法求數列的前n項和，考查計算化簡能力．