Question

已知橢圓的左右頂點分別為，離心率．

（1）求橢圓的方程；

（2）若點為曲線:上任一點（點不同于），直線與直線交于點，為線段的中點，試判斷直線與曲線的位置關系，并證明你的結論．

 

Answer 1

(1)(2)相切

【解析】

試題分析：

(1)根據橢圓的標準方程可以判斷橢圓的焦點在x軸上,而x軸上頂點的坐標已知,即可得到a的值,再根據離心率的計算公式即可求的c的值,再利用a,b,c之間的關系即可求的的值,得到橢圓的標準方程.

(2)設出C點坐標,點R在直線x=2上,即點R的橫坐標已知,再利用A,C,R三點哎同一直線上,即向量共線,把A,C的坐標帶入即可得到R點的坐標,D為RB的中點,利用中點坐標公式即可得到D點的坐標,CD兩點坐標已知,利用直線的兩點式即可求的直線CD的方程,利用C點滿足圓E的方程,計算圓心到直線CD的距離,可得到圓心到直線CD的距離等于圓E的半徑,即直線DC與圓E相切.

試題解析：

（1）由題意可得，，∴ 2分

∴， 3分

所以橢圓的方程為． 4分

（2）曲線是以為圓心，半徑為2的圓。

設，點的坐標為， 5分

∵三點共線，∴， 6分

而，，則，

∴， 8分

∴點的坐標為，點的坐標為， 10分

∴直線的斜率為，

而，∴，

∴， 12分

∴直線的方程為，化簡得，

∴圓心到直線的距離， 13分

所以直線與曲線相切． 14分

考點：橢圓離心率圓與直線的位置關系