Question

（本小題滿分14分）根據如圖所示的程序框圖，將輸出a，b的值依次分別記為a1，a2， ，an， ，a2008；b1，b2， ，bn， ，b2008．

（Ⅰ）求數列 { an } 的通項公式；

（Ⅱ）寫出b1，b2，b3，b4，由此猜想{ bn }的通項公式，并證明你的證明；

（Ⅲ）在 ak 與 ak＋1 中插入bk＋1個3得到一個新數列 { cn } ，設數列 { cn }的前n項和為Sn，問是否存在這樣的正整數m，使數列{ cn }的前m項的和，如果存在，求出m的值，如果不存在，請說明理由．

Answer 1

（Ⅰ）an＝n；（Ⅱ）；（Ⅲ）見解析

【解析】

試題分析：（Ⅰ）根據程序框圖的功能易得{ an } 的通項公式為an＝n；（Ⅱ）由b1＝0，b2＝2，b3＝8，b4＝26，可猜想然后利用bn＋1＋1＝3（bn＋1）即可證明；（Ⅲ）數列中，項（含）前的所有項的和是，當時，其和是，當時，其和是，又因為，是3的倍數，故存在這樣的，

試題解析：（Ⅰ）a1＝1，an＋1 ＝an ＋1，∴{ an }是公差為1的等差數列．∴an＝n．3分

（Ⅱ）b1＝0，b2＝2，b3＝8，b4＝26，

猜想．證明如下：bn＋1 ＝3bn＋2，bn＋1＋1＝3（bn＋1），

∴{ bn＋1}是公比為3的等比數列．∴．則．7分

（Ⅲ）數列中，項（含）前的所有項的和是

，

估算知，當時，其和是，當時，其和是，又因為，是3的倍數，

故存在這樣的，使得，此時．14分

考點：數列與程序框圖的綜合應用