Question

16．已知函數f（x）=-x³+ax²-4．
（1）若f（x）在$x=\frac{4}{3}$處取得極值，求實數a的值；
（2）在（1）的條件下，若關于x的方程f（x）=m在[-1，1]上恰有兩個不同的實數根，求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求導數，把x=$\frac{4}{3}$代入可得關于a的方程，解之可得a的值；（2）求f′（x），研究其變化規律可得函數的極值，數形結合可得答案．

解答 解：（1）由題意可得f′（x）=-3x²+2ax
由題意得f′（$\frac{4}{3}$）=0，解得a=2，經檢驗滿足條件．      
（2）由（1）知f（x）=-x³+2x²-4，則f′（x）=-3x²+4x，
令f′（x）=0，則x=0，或x=$\frac{4}{3}$（舍去），
當x變化時，f′（x），f（x）的變化情況如下表：

x	-1	（-1，0）	0	（0，1）	1
f′（x）		-	0	+
f（x）	-1	↘	-4	↗	-3

∵關于x的方程f（x）=m在[-1，1]上恰有兩個不同的實數根，
∴-4＜m≤-3．

點評 本題考查利用導數研究函數的極值，涉及根的存在性及個數的判斷，屬中檔題．