Question

8．已知函數f（x）=ax-1-lnx（a∈R）．
（1）討論函數的單調性；
（2）若函數f（x）在x=1處取得極值，不等式f（x）≥bx-2對?x∈（0，+∞）恒成立，求實數b的取值范圍；
（3）當x＞y＞e時，證明不等式e^xlny＞e^ylnx．

Answer 1

分析 （1）求出函數的導數，通過討論a的范圍，求出函數的單調區間即可；
（2）求出a的值，問題轉化為b≤1+$\frac{1}{x}$-$\frac{lnx}{x}$，令g（x）=$\frac{1}{x}$-$\frac{lnx}{x}$，根據函數的單調性求出b的范圍即可；
（3）問題轉化為$\frac{{e}^{x}}{lnx}$＞$\frac{{e}^{y}}{lny}$，構造函數h（x）=$\frac{{e}^{x}}{lnx}$，根據函數的單調性證明即可．

解答 解：（1）$f'（x）=a-\frac{1}{x}=\frac{ax-1}{x}$．
當a≤0時，ax-1＜0，從而f'（x）＜0，函數f（x）在（0，+∞）單調遞減；
當a＞0時，若$0＜x＜\frac{1}{a}$，則ax-1＜0，從而f'（x）＜0，
若$x＞\frac{1}{a}$，則ax-1＞0，從而f'（x）＞0，
函數在$（0，\frac{1}{a}）$單調遞減，在$（\frac{1}{a}，+∞）$單調遞增．             …（4分）
（2）根據（1）函數的極值點是$x=\frac{1}{a}$，若$\frac{1}{a}=1$，則a=1，
∴f（x）≥bx-2，即x-1-lnx≥bx-2，
∵x＞0，即b≤1+$\frac{1}{x}$-$\frac{lnx}{x}$，
令g（x）=$\frac{1}{x}$-$\frac{lnx}{x}$，則g′（x）=$\frac{lnx-2}{{x}^{2}}$，
得：x=e²是函數g（x）在（0，+∞）內的唯一極小值點，也是最小值點，
故g（x）_min=-$\frac{1}{{e}^{2}}$，
故b≤1-$\frac{1}{{e}^{2}}$；
（3）由e^xlny＞e^ylnx即$\frac{{e}^{x}}{lnx}$＞$\frac{{e}^{y}}{lny}$，
構造函數h（x）=$\frac{{e}^{x}}{lnx}$，則h′（x）=$\frac{{e}^{x}（lnx-1）}{{ln}^{2}x}$，x∈（e，+∞），h′（x）＞0，
即h（x）在（e，+∞）遞增，
∵x＞y＞e，
∴$\frac{{e}^{x}}{lnx}$＞$\frac{{e}^{y}}{lny}$，
∴e^xlny＞e^ylnx．

點評 本題考查了函數的單調性、最值問題，考查導數的應用以及不等式的證明，是一道綜合題．