Question

7．已知f（t）=log₂t，t∈[2，16]，對于函數f（t）值域內的任意實數m，則使x²+mx+4＞4m+4x恒成立的實數x的取值范圍為（　　）

• A． （-∞，-2$\sqrt{3}$]
• B． [2，+∞）
• C． （-∞，-2$\sqrt{3}$]∪[2$\sqrt{3}$，+∞）
• D． （-∞，-2$\sqrt{3}$）∪（2$\sqrt{3}$，+∞）

Answer 1

分析 依題意，可得m∈[1，4]，x²+mx+4＞4m+4x恒成立?（x-4）m+x²-4x+4＞0恒成立，構造函數g（m）=（x-4）m+x²-4x+4，則$\left\{\begin{array}{l}{g（1）＞0}\\{g（4）＞0}\end{array}\right.$，解之即可得到實數x的取值范圍．

解答 解：∵t∈[2，16]，
∴f（t）=log₂t∈[1，4]，即m∈[1，4]時，x²+mx+4＞4m+4x恒成立，即m∈[1，4]，（x-4）m+x²-4x+4＞0恒成立，
令g（m）=（x-4）m+x²-4x+4，
則$\left\{\begin{array}{l}{g（1）＞0}\\{g（4）＞0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-3x＞0}\\{{x}^{2}-12＞0}\end{array}\right.$，解得：x＞2$\sqrt{3}$或x＜-2$\sqrt{3}$，
故選：D．

點評 本題考查函數恒成立問題，分離參數m并構造函數g（m）=（x-4）m+x²-4x+4是關鍵，考查等價轉化思想與函數方程思想，屬于難題．