Question

我市某鎮的一種特產由于運輸原因，長期只能在當地銷售．當地政府對該特產的銷售投資收益為：每投入x萬元，可獲得利潤P=-

1

100

（x-60）2+41（萬元）．當地政府擬在“十二•五”規劃中加快開發該特產的銷售，其規劃方案為：在規劃前后對該項目每年最多可投入100萬元的銷售投資，在實施規劃5年的前兩年中，每年都從100萬元中撥出50萬元用于修建一條公路，兩年修成，通車前該特產只能在當地銷售；公路通車后的3年中，該特產既在本地銷售，也在外地銷售．在外地銷售的投資收益為：每投入x萬元，可獲利潤Q=-

99

100

（100-x）2+

294

5

（100-x）+160（萬元）．
（1）若不進行開發，求5年所獲利潤的最大值是多少？
（2）若按規劃實施，求5年所獲利潤（扣除修路后）的最大值是多少？
（3）根據（1），（2），該方案是否具有實施價值？

Answer 1

考點：函數模型的選擇與應用

專題：計算題,應用題,函數的性質及應用

分析：（1）由題意，每年可獲得利潤P=-

1

100

（x-60）²+41，從而求最大值；
（2）分前兩年與后三年分別計算，從而得到最大利潤總和；
（3）比較所獲得的利潤即可．

解答： 解：（1）若不進行開發，
每年可獲得利潤P=-

1

100

（x-60）²+41，
故當x=60時有最大值為41；
故5年所獲利潤的最大值為41×5=205萬元；
（2）若按規劃實施，前兩年的利潤最大值為
P=2[-

1

100

（50-60）²+41]-100=-20；
后三年中，設投資本地為x萬元，則設資外地為100-x萬元；
故每年的利潤為P+Q=-

1

100

（x-60）²+41-

99

100

x²+

294

5

x+160
=-x²+60x+165=-（x-30）²+1065；
故當x=30時有最大值為1065萬元；
故三年總利潤為3×1065=3195萬元；
故5年所獲利潤（扣除修路后）的最大值是3195-20=3175萬元；
（3）由（1），（2）知，該方案具有實施價值．

點評：本題考查了函數在實際問題中的應用，屬于中檔題．