Question

6．函數f（x）=$\frac{a{x}^{3}}{3}$+$\frac{a{x}^{2}}{2}$-2ax+2a+1的圖象經過四個象限，則實數a的取值范圍是（　　）

• A． （-$\frac{6}{5}$，$\frac{3}{16}$）
• B． （-$\frac{8}{5}$，-$\frac{3}{16}$）
• C． （-$\frac{8}{5}$，-$\frac{1}{16}$）
• D． （-$\frac{6}{5}$，-$\frac{3}{16}$）

Answer 1

分析 先求導函數，利用導數求函數的最值，利用最值異號可以求解．

解答 解：∵f′（x）=ax²+ax-2a=a（x-1）（x+2）．
若a＜0，
則當x＜-2或x＞1時，f′（x）＜0，
當-2＜x＜1時，f′（x）＞0，
從而有f（-2）＜0，且f（1）＞0，
即：$\left\{\begin{array}{l}{-8a+24a+3＜0}\\{\frac{1}{3}a+\frac{1}{2}a+1＞0}\end{array}\right.$，
∴-$\frac{6}{5}$＜a＜-$\frac{3}{16}$，
若a＞0，
則當x＜-2或x＞1時，f′（x）＞0，
當-2＜x＜1時，f′（x）＜0，
從而有f（-2）＞0，且f（1）＜0，無解，
綜合以上：-$\frac{6}{5}$＜a＜-$\frac{3}{16}$．
故選D．

點評 本題主要考查三次函數的圖象，利用導數求函數的最值可以解決．