Question

已知sin（2α+β）=3sinβ，設tanα=x，tanβ=y，記y=f（x）．
（Ⅰ）求f（x）的表達式；
（Ⅱ）定義正數數列{an}，a1=

1

2

，

a

2 n+1

=2anf(an)(n∈N*)，數列{

1

a 2 n

-2}是等比數列；
（Ⅲ）令bn=

1

a 2 n

-2，Sn為{bn}的前n項和，求使Sn＞

31

8

成立的最小n值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由sin（2α+β）=3sinβ，知sin2αcosβ+cos2αsinβ=3sinβsin2αcosβ=sinβ（3-cos2α），tanβ=

sin2α

3-cos2α

=

2sinαcosα

3-2cos2α+1

=

2sinαcosα

4sin2α+2cos2α

=

tanα

2tan2α+1

，由此能求出f（x）的表達式．
（Ⅱ）由

a

2 n+1

=2anf(n)=2an•

an

2 a 2 n +1

=

2 a 2 n

2 a 2 n +1

，知

1

a 2 n+1

=1+

1

2 a 2 n

，

1

a 2 n+1

-2=

1

2

(

1

a 2 n

-2)，故數列{

1

a 2 n

-2}是等比數列．
（Ⅲ）由bn=

1

a 2 n

-2na1=

1

2

，知Sn=

2[1-( 1 2 )2]

1- 1 2

=4[1-(

1

2

)2]，由此入手能導出滿足Sn＞

31

8

的最小n為6．

解答：解：（Ⅰ）∵sin（2α+β）=3sinβ，
∴sin2αcosβ+cos2αsinβ=3sinβsin2αcosβ=sinβ（3-cos2α）
tanβ=

sin2α

3-cos2α

=

2sinαcosα

3-2cos2α+1

=

2sinαcosα

4sin2α+2cos2α

=

tanα

2tan2α+1

∴f(x)=

x

2x2+1

（Ⅱ）∵

a

2 n+1

=2anf(n)=2an•

an

2 a 2 n +1

=

2 a 2 n

2 a 2 n +1

∴

1

a 2 n+1

=1+

1

2 a 2 n

∴

1

a 2 n+1

-2=

1

2

(

1

a 2 n

-2)
∴數列{

1

a 2 n

-2}是以2為首項，

1

2

為公比的等比數列．
（Ⅲ）∵bn=

1

a 2 n

-2na1=

1

2

∴Sn=

2[1-( 1 2 )2]

1- 1 2

=4[1-(

1

2

)2]
又Sn＞

31

8

即4[1-(

1

2

)n]＞

31

8

∴(

1

2

)n＜

1

32

∴n＞5
∴滿足Sn＞

31

8

的最小n為6．

點評：本題考查數列的性質和綜合運用，解題時要認真審題，注意不等式性質的合理運用．