Question

12．設f（x）=x³+bx+c是[-1，1]上的增函數，且f（-$\frac{1}{2}$）f（$\frac{1}{2}$）＜0，則方程f（x）=0在[-1，1]內（　　）

• A． 可能有3個實數根
• B． 可能有2個實數根
• C． 有唯一的實數根
• D． 沒有實數根

Answer 1

分析 根據函數f（x）=x³+bx+c是[-1，1]上的增函數，判斷b的取值范圍，進而得到函數f（x）在R時是單調遞增函數，結合f（-$\frac{1}{2}$）f（$\frac{1}{2}$）＜0得結論．

解答 解：由f（x）=x³+bx+c，得f′（x）=3x²+b，
∵f（x）=x³+bx+c是[-1，1]上的增函數，
∴f′（x）=3x²+b≥0對任意x∈[-1，1]恒成立，即b≥-3x²，
∴b≥0．
∴f′（x）=3x²+b≥0．
則f（x）在[-1，1]上為增函數，
又f（-$\frac{1}{2}$）f（$\frac{1}{2}$）＜0，∴f（x）在（$-\frac{1}{2}，\frac{1}{2}$）上有唯一零點，
則方程f（x）=0在[-1，1]內有唯一的實數根．
故選：C．

點評 本題主要考查方程根的個數的判斷．利用導數研究函數的單調性，求出b的取值范圍是解決本題的關鍵，是中檔題．