Question

20．某互聯網理財平臺為增加平臺活躍度決定舉行邀請好友拿獎勵活動，規則是每邀請一位好友在該平臺注冊，并購買至少1萬元的12月定期，邀請人可獲得現金及紅包獎勵，現金獎勵為被邀請人理財金額的1%，且每邀請一位最高現金獎勵為300元，紅包獎勵為每邀請一位獎勵50元．假設甲邀請到乙、丙兩人，且乙、丙兩人同意在該平臺注冊，并進行理財，乙、丙兩人分別購買1萬元、2萬元、3萬元的12月定期的概率如表：

理財金額	1萬元	2萬元	3萬元
乙理財相應金額的概率	$\frac{1}{3}$	$\frac{1}{3}$	$\frac{1}{3}$
丙理財相應金額的概率	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{3}$	$\frac{1}{6}$

（1）求乙、丙理財金額之和不少于5萬元的概率；
（2）若甲獲得獎勵為X元，求X的分布列與數學期望．

Answer 1

分析 （1）根據古典概型的概率公式，計算乙、丙理財金額之和不少于5萬元的概率值；
（2）根據X的所有可能取值，計算對應的概率值，
寫出隨機變量X的分布列，計算數學期望值．

解答 解：（1）設乙、丙理財金額分別為ξ萬元、η萬元，
則乙、丙理財金額之和不少于5萬元的概率為
P（ξ+η≥5）=P（ξ=2）P（η=3）+P（ξ=3）P（η=2）+P（ξ=3）P（η=2）
=$\frac{1}{3}$×$\frac{1}{6}$+$\frac{1}{3}$×$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$×$\frac{1}{6}$=$\frac{2}{9}$；---------（4分）
（2）X的所有可能的取值為300，400，500，600，700；
P（X=300）=P（ξ=1）P（η=1）=$\frac{1}{3}$×$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{6}$，
P（X=400）=P（ξ=1）P（η=2）+P（ξ=2）P（η=1）=$\frac{1}{3}$×$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$×$\frac{1}{2}$=$\frac{5}{18}$，
P（X=500）=P（ξ=1）P（η=3）+P（ξ=3）•P（η=1）+P（ξ=2）P（η=2）=$\frac{1}{3}$×$\frac{1}{6}$+$\frac{1}{3}$×$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$×$\frac{1}{3}$=$\frac{1}{3}$，
P（X=600）=P（ξ=2）P（η=3）+P（ξ=3）P（η=2）=$\frac{1}{3}$×$\frac{1}{6}$+$\frac{1}{3}$×$\frac{1}{3}$=$\frac{1}{6}$，
P（X=700）=P（ξ=3）P（η=3）=$\frac{1}{3}$×$\frac{1}{6}$=$\frac{1}{18}$，
所以X的分布列為

X	300	400	500	600	700
P	$\frac{1}{6}$	$\frac{5}{18}$	$\frac{1}{3}$	$\frac{1}{6}$	$\frac{1}{18}$

（10分）
數學期望為E（X）=300×$\frac{1}{6}$+400×$\frac{5}{18}$+500×$\frac{1}{3}$+600×$\frac{1}{6}$+700×$\frac{1}{18}$=$\frac{1400}{3}$．----------------（12分）

點評 本題考查了離散型隨機變量的分布列與數學期望的計算問題，是中檔題．