Question

20．在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若sinA+sinC=$\sqrt{2}$sinB，則△ABC中最大角的度數等于（　�。�

• A． 90°
• B． 75°
• C． 135°
• D． 105°

Answer 1

分析 由已知利用正弦定理可得：a+c=$\sqrt{2}$b，兩邊平方可得：a²+c²-b²=b²-2ac，又利用基本不等式可求b²≥2ac，可求B為最大角，進而利用余弦定理可求cosB≥0，根據余弦函數的圖象可求B的最大值．

解答 解：∵sinA+sinC=$\sqrt{2}$sinB，
∴由正弦定理可得：a+c=$\sqrt{2}$b，
∴兩邊平方可得：a²+c²+2ac=2b²，可得：a²+c²-b²=b²-2ac，
∵a²+c²=2b²-2ac≥2ac，可得：b²≥2ac，當且僅當a=c時等號成立，
∴B為最大角，由余弦定理可得：cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-^{2}}{2ac}$=$\frac{^{2}-2ac}{2ac}$≥$\frac{2ac-2ac}{2ac}$=0，
當且僅當a=c時等號成立，
由B∈（0°，180°），
可求B_max=90°．
故選：A．

點評 本題主要考查了正弦定理，基本不等式，余弦定理，余弦函數的圖象和性質在解三角形中的應用，考查了轉化思想，屬于中檔題．