Question

12．如圖，在棱長為a的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，P為A₁D₁的中點，Q為A₁B₁上任意一點，E，F為CD上任意兩點，且EF的長為定值，則以下四個值中為定值的編號是①②④．
①點P到平面QEF的距離；
②三棱錐P-QEF的體積；
③直線PQ與平面PEF所成的角；
④二面角P-EF-Q的大小．

Answer 1

分析 對4個結論分別進行判斷，即可得出結論．

解答 解：①中，∵平面QEF也就是平面A₁B₁CD，既然P和平面QEF都是固定的，∴P到平面A₁B₁CD的距離是定值，∴點P到平面QEF的距離為定值；
②中，∵△QEF的面積是定值（∵EF定長，Q到EF的距離就是Q到CD的距離也為定長，即底和高都是定值），再根據①的結論P到平面QEF的距離也是定值，∴三棱錐的高也是定值，于是體積固定，∴三棱錐P-QEF的體積是定值；
③中，∵Q是動點，E，F也是動點，推不出定值的結論，∴直線PQ與平面PEF所成的角不是定值；
④中，由圖，平面QEF也就是平面A₁B₁CD，又∵平面PEF即為平面PCD，∴二面角P-EF-Q的大小為定值．
故答案為：①②④．

點評 本題考查的知識點是直線與平面所成的角，二面角，棱錐的體積及點到平面的距離，其中兩線平行時，一條線的上的點到另一條直線的距離相等，線面平行時直線上到點到平面的距離相等，平面平行時一個平面上的點到另一個平面的距離相等是解答本題的關鍵．