Question

20．已知圓C：（x-3）²+（y-4）²=4，直線l過定點A（1，0）．
（1）若l與圓相切，求l的方程；
（2）若l與圓相交于P，Q兩點，線段PQ的中點為M，又l與x+2y+2=0的交點為N，判斷|AM|•|AN|是否為定值，若是，則求出定值；若不是，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）由直線l₁與圓相切，則圓心到直線的距離等于半徑，求得直線方程，注意分類討論；
（2）分別聯立相應方程，求得M，N的坐標，再求|AM|•|AN|．

解答 解：（1）①當直線斜率存在時，設直線的斜率為k，則直線方程為：y-0=k（x-1），
即kx-y-k=0．因為直線與圓相切，所以$d=\frac{{|{3k-4-k}|}}{{\sqrt{{k^2}+1}}}=2$，解得$k=\frac{3}{4}$….3
所以直線方程是：3x-4y-3=0．
②當直線斜率不存在時，直線為x=1，滿足題意．
綜上可知：直線的方程是3x-4y-3=0或x=1…..6
（2）因為直線與圓相交，所以斜率存在，設斜率為k，則直線l：y=k（x-1）
聯立$\left\{\begin{array}{l}y=k（{x-1}）\\ x+2y+2=0\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}x=\frac{2k-2}{1+2k}\\ y=\frac{-3k}{1+2k}\end{array}\right.$所以$N（{\frac{2k-2}{1+2k}，\frac{-3k}{1+2k}}）$…8
因為M是PQ的中點，所以CM⊥PQ．設直線CM的方程：$y-4=-\frac{1}{k}（{x-3}）$
聯立$\left\{\begin{array}{l}y-4=-\frac{1}{k}（{x-3}）\\ y=k（{x-1}）\end{array}\right.$得$M（{\frac{{{k^2}+4k+3}}{{{k^2}+1}}，\frac{{4{k^2}+2k}}{{{k^2}+1}}}）$．…10
所以$\overrightarrow{AM}=（{\frac{4k+2}{{{k^2}+1}}，\frac{{4{k^2}+2k}}{{{k^2}+1}}}），\overrightarrow{AN}=（{\frac{-3}{1+2k}，\frac{-3k}{1+2k}}）$
所以$\overrightarrow{AM}•\overrightarrow{AN}=-6$，因為$\overrightarrow{AM}•\overrightarrow{AN}=-|{AM}|•|{AN}|$$|{AM}|•|{AN}|=-\overrightarrow{AM}•\overrightarrow{AN}=6$….12

點評 本題主要考查圓的標準方程，簡單幾何性質，直線與圓的位置關系，圓的簡單性質等基礎知識．考查運算求解能力，推理論證能力；考查函數與方程思想，化歸與轉化思想．