Question

8．已知數列{a_n}的前n項和為S_n，a₂=3，且2S_n=n（a_n+1），n∈N^*
（1）求{a_n}的通項公式；
（2）數列{b_n}滿足b_n=pn-a_n，且{b_n}的前n項和為T_n，若對任意n∈N^*，都有T_n≤T₆，求實數p的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由a₂=3，且2S_n=n（a_n+1），n=2時，2（a₁+a₂）=2（a₂+1），解得a₁．n≥2時，2a_n=2（S_n-S_n-1），化為（n-1）a_n-1-（n-2）a_n=1．na_n-（n-1）a_n+1=1，相減可得：2a_n=a_n+1+a_n-1（n≥2），再利用等差數列的通項公式可得a_n．
（2）b_n=pn-a_n=（p-2）n+1．可得數列{b_n}的前n項和為T_n=$\frac{p-2}{2}{n}^{2}$+$\frac{p}{2}$n，再利用二次函數的單調性即可得出．

解答 解：（1）∵a₂=3，且2S_n=n（a_n+1），∴n=2時，2（a₁+a₂）=2（a₂+1），即2（a₁+3）=2×（3+1），解得a₁=1．
n≥2時，2a_n=2（S_n-S_n-1）=n（a_n+1）-（n-1）（a_n-1+1），∴（n-1）a_n-1-（n-2）a_n=1．
∴na_n-（n-1）a_n+1=1，相減可得：2a_n=a_n+1+a_n-1（n≥2）．∴數列{a_n}是等差數列，
∴a_n=1+（n-1）×（3-1）=2n-1．
（2）b_n=pn-a_n=pn-（2n-1）=（p-2）n+1．
∴數列{b_n}的前n項和為T_n=$\frac{n[（p-2）n+1+p-1]}{2}$=$\frac{p-2}{2}{n}^{2}$+$\frac{p}{2}$n，
由于對任意n∈N^*，都有T_n≤T₆，
T_n開口向下，∴p＜2，且5.5≤$\frac{p}{2（2-p）}$≤6.5，解得$\frac{11}{6}≤p$$≤\frac{13}{7}$．
∴實數p的取值范圍是$[\frac{11}{6}，\frac{13}{7}]$．

點評 本題考查了等差數列的通項公式與求和公式、數列遞推關系、二次函數的單調性，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．