Question

5．函數(shù)f（x）=$\sqrt{4-2x}$+$\sqrt{x}$的值域為[$\sqrt{2}$，$\sqrt{6}$]．

Answer 1

分析 利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的值域．

解答 解：函數(shù)f（x）=$\sqrt{4-2x}$+$\sqrt{x}$，其函數(shù)的定義域為{x|0≤x≤2}．
那么：f′（x）=-$\frac{1}{\sqrt{4-2x}}+\frac{1}{2\sqrt{x}}$
令f′（x）=0，解得：x=$\frac{2}{3}$，
∴當(dāng)x∈（0，$\frac{2}{3}$）時，f′（x）＞0，f（x）是單調(diào)增函數(shù)．
當(dāng)x∈（$\frac{2}{3}$，2）時，f′（x）＜0，f（x）是單調(diào)減函數(shù)．
∴當(dāng)x=$\frac{2}{3}$時，f（x）取得極大值，即最大值為$\sqrt{6}$．
當(dāng)x=0時，f（x）=2，當(dāng)x=2時，f（x）=$\sqrt{2}$．
所以得函數(shù)f（x）的值域為[$\sqrt{2}$，$\sqrt{6}$]．
故答案為：[$\sqrt{2}$，$\sqrt{6}$]．

點評 本題考查了函數(shù)值域的求法．高中函數(shù)值域求法有：1、觀察法，2、配方法，3、反函數(shù)法，4、判別式法；5、換元法，6、數(shù)形結(jié)合法，7、不等式法，8、分離常數(shù)法，9、單調(diào)性法，10、利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的值域，11、最值法，12、構(gòu)造法，13、比例法．要根據(jù)題意選擇．