Question

【題目】已知函數 .

（1）當時，求函數的單調區間；

（2）是否存在實數，使得至少有一個，使成立，若存在，求出實數的取值范圍；若不存在，說明理由.

Answer 1

【答案】（1）見解析（Ⅱ）或

【解析】試題分析：（1）首先求函數的導數，再通分，得到 根據解不等式，得到函數單調區間；（2）首先求存在性命題的否定，即有成立，將不等式轉化為恒成立，設 ，根據函數的導數，分 ，求得函數的最小值，令最小值大于等于0，求得的取值范圍，再求其補集.

試題解析：（1）函數的定義域為，

1）當時，由得， 或，由得，

故函數的單調遞增區間為和，單調減區間為

2）當時， ， 的單調增區間為

（Ⅱ）先考慮“至少有一個，使成立”的否定“， 恒成立”。即可轉化為恒成立。

令，則只需在恒成立即可，

當時，在時， ，在時，

的最小值為，由得，

故當時， 恒成立，

當時， ， 在不能恒成立，

當時，取，有， 在不能恒成立，

綜上所述，即或時，至少有一個，使成立。