Question

5．已知函數f（x）=$\frac{x}{1+|x|}$（x∈R）時，則下列所有正確命題的序號是①②③．
①若任意x∈R，則等式f（-x）+f（x）=0恒成立；
②存在m∈（0，1），使得方程|f（x）|=m有兩個不等實數根；
③任意x₁，x₂∈R，若x₁≠x₂，則一定有f（x₁）≠f（x₂）
④存在k∈（1，+∞），使得函數g（x）=f（x）-kx在R上有三個零點．

Answer 1

分析 根據奇函數的定義判斷①，根據函數的圖象判斷②③④

解答 解：f（x）=$\frac{x}{1+|x|}$（x∈R）的圖象為
對于①，函數的定義域為R，f（-x）=$\frac{-x}{1+|-x|}$=-$\frac{x}{1+|x|}$=-f（x），
f（x）+f（-x）=0恒成立，故①正確，
對于②，由圖象可知，函數的值域為（-1，1），
故存在m∈（0，1），使得方程|f（x）|=m有兩個不等實數根，故②正確，
對于③由圖象可知，函數在R上單調遞增，故任意x₁，x₂∈R，若x₁≠x₂，則一定有f（x₁）≠f（x₂），故③正確，
對于④，分別畫出y=f（x）與y=kx的圖象，由圖象可知，使得函數g（x）=f（x）-kx在R上有一個零點，故④錯誤，

故答案為：①②③

點評 本題考查了函數圖象及其性質，關鍵是繪制函數圖象，屬于中檔題．