Question

12．在等差數列{a_n}中，a₁=1，前n項和S_n滿足條件$\frac{{{S_{2n}}}}{S_n}$=$\frac{4n+2}{n+1}$，n=1，2，…
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）記b_n=$a_n（\frac{1}{2}）^{a_n}}$，求數列{b_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析 （1）將n=1代入已知遞推式，易得a₂，從而求出d，故a_n可求；
（2）求出b_n，然后利用錯位相減法求和．

解答 解：（1）設等差數列{a_n}的公差為d，
由$\frac{{{S_{2n}}}}{S_n}$=$\frac{4n+2}{n+1}$得：
$\frac{{a}_{1}+{a}_{2}}{{a}_{1}}$=3，a₁=1，
所以a₂=2，
即d=a₂-a₁=1，
所以a_n=n．
（2）由b_n=a_n（$\frac{1}{2}$^）a_n，得b_n=n$\frac{1}{2}$ⁿ．
所以T_n=$\frac{1}{2}$+2（$\frac{1}{2}$）²+3（$\frac{1}{2}$）³+…+（n-1）（$\frac{1}{2}$）^n-1+n（$\frac{1}{2}$）ⁿ，①；
  $\frac{1}{2}$T_n=（$\frac{1}{2}$）²+2（$\frac{1}{2}$）³+3（$\frac{1}{2}$）⁴+…+（n-1）（$\frac{1}{2}$）ⁿ+n（$\frac{1}{2}$）ⁿ⁺¹，②
①-②得$\frac{1}{2}$T_n=$\frac{1}{2}$+（$\frac{1}{2}$）²+（$\frac{1}{2}$）³+…+（$\frac{1}{2}$）^n-1+（$\frac{1}{2}$）ⁿ-n（$\frac{1}{2}$）ⁿ⁺¹=$\frac{\frac{1}{2}[1-（\frac{1}{2}）^{n}]}{1-\frac{1}{2}}-n（\frac{1}{2}）^{n+1}$=1-$（\frac{1}{2}）^{n}-n（\frac{1}{2}）^{n+1}$=1-$\frac{2+n}{{2}^{n+1}}$．
所以數列{b_n}的前n項和T_n=2-$\frac{2+n}{{2}^{n}}$．

點評 本題主要考查對數列遞推關系的觀察能力和利用錯位相減法求和的能力，難度中等．