Question

3．在等比數列{a_n}中，a₁+a₂+a₃+a₄+a₅=27，$\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+\frac{1}{a_3}+\frac{1}{a_4}+\frac{1}{a_5}$=3，則a₃=（　　）

• A． ±9
• B． 9
• C． 3
• D． ±3

Answer 1

分析 根據等比數列的定義，可得$\left\{\begin{array}{l}{a_3}（{\frac{1}{q^2}+\frac{1}{q}+1+q+{q^2}}）=27\\ \frac{1}{a_3}×（{{q^2}+q+1+\frac{1}{q}+\frac{1}{q^2}}）=3\end{array}\right.$，即可求出答案．

解答 解：設公比為q，
由已知可得$\left\{\begin{array}{l}{a_3}（{\frac{1}{q^2}+\frac{1}{q}+1+q+{q^2}}）=27\\ \frac{1}{a_3}×（{{q^2}+q+1+\frac{1}{q}+\frac{1}{q^2}}）=3\end{array}\right.$，
兩式相除可得，${a_3}^2=9$，
所以a₃=±3．當a₃=-3時，此時$\frac{1}{{q}^{2}}$+$\frac{1}{q}$+1+q+q²=-9，化簡為$\frac{（1+q）^{2}}{{q}^{2}}$（q²-q+1）=-9，此方程無解，故舍去，
故選：C．

點評 本題考查了等比數列的性質和方程組的解法，屬于基礎題．