Question

7．在平面直角坐標系xOy中，以原點O為極點，以x軸正半軸為極軸建立極坐標系，直線l的極坐標方程為ρsinθ+ρcosθ=m，曲線C的極坐標方程為ρ=2$\sqrt{2}$sin（θ+$\frac{π}{4}$）．
（1）寫出曲線C的參數方程；
（2）若直線l與曲線C相切，求m的值．

Answer 1

分析 （1）曲線C的極坐標方程為ρ=2$\sqrt{2}$sin（θ+$\frac{π}{4}$），展開可得：ρ²=2$\sqrt{2}$×$\frac{\sqrt{2}}{2}$ρ（sinθ+cosθ），利用互化公式可得直角坐標方程，利用同角三角函數基本關系的平方關系化為參數方程．
（2）直線l的極坐標方程為ρsinθ+ρcosθ=m，利用互化公式可得直角坐標方程，根據直線l與曲線C相切，可得圓心（1，1）到直線的距離d=r，即可得出．

解答 解：（1）曲線C的極坐標方程為ρ=2$\sqrt{2}$sin（θ+$\frac{π}{4}$），
展開可得：ρ²=2$\sqrt{2}$×$\frac{\sqrt{2}}{2}$ρ（sinθ+cosθ），化為：x²+y²=2x+2y，
配方為：（x-1）²+（y-1）²=2．可得參數方程為：$\left\{\begin{array}{l}{x=1+\sqrt{2}cosθ}\\{y=1+\sqrt{2}sinθ}\end{array}\right.$（θ為參數）．
（2）直線l的極坐標方程為ρsinθ+ρcosθ=m，化為直角坐標方程：y+x-m=0．
∵直線l與曲線C相切，∴圓心（1，1）到直線的距離d=$\frac{|1+1-m|}{\sqrt{2}}$=r=$\sqrt{2}$，
解得m=0，或4．

點評 本題考查了直角坐標方程化為參數方程、極坐標方程化為直角坐標方程、點到直線的距離公式、直線與圓的位置關系，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．