Question

17．已知f（x）=sinx+cosx+2sinxcosx，x∈[0，$\frac{π}{2}$），則f（x）的值域為$[1，\sqrt{2}+1]$．

Answer 1

分析 將函數化簡，利用換元法，結合三角函數的圖象及性質求出換元參數的范圍，再求f（x）的值域．

解答 解：f（x）=sinx+cosx+2sinxcosx，x∈[0，$\frac{π}{2}$），
化簡f（x）=（sinx+cosx）²+sinx+cosx-1
設sinx+cosx=t，
則t=$\sqrt{2}$sin（x$+\frac{π}{4}$），
那么函數化簡為：g（t）=t²+t-1．
∵x∈[0，$\frac{π}{2}$），
∴x$+\frac{π}{4}$∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{3π}{4}$），
所以：$1≤t≤\sqrt{2}$．
∵函數g（t）=t²+t-1．
開口向上，對稱軸t=$-\frac{1}{2}$，
∴$1≤t≤\sqrt{2}$是單調遞增．
當t=1時，g（t）取得最小值為1，
當t=$\sqrt{2}$時，g（t）取得最大值為$\sqrt{2}+1$，
所以函數的值域為$[1，\sqrt{2}+1]$．
故答案為$[1，\sqrt{2}+1]$．

點評 本題考查了三角函數的化簡能力以及三角函數性質的運用．利用三角函數的有界限求值域．屬于中檔題．