Question

17．已知數(shù)列{a_n}滿足${a_{n+1}}=\frac{1}{2}+\sqrt{{a_n}-{a_n}^2}$，且a₁=0，則該數(shù)列的前100項(xiàng)的和等于（　　）

• A． 24
• B． 25
• C． 74
• D． 75

Answer 1

分析 利用遞推關(guān)系可得數(shù)列的周期性，即可得出．

解答 解：∵${a_{n+1}}=\frac{1}{2}+\sqrt{{a_n}-{a_n}^2}$，且a₁=0，
∴a₂=$\frac{1}{2}+0$=$\frac{1}{2}$，同理可得：a₃=$\frac{1}{2}+\frac{1}{2}$=1，a₄=$\frac{1}{2}$，…，
∴a_2n=$\frac{1}{2}$，a_2n+1=1．
則該數(shù)列的前100項(xiàng)的和S₁₀₀=0+49+$\frac{1}{2}×50$=74．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了數(shù)列的遞推關(guān)系、數(shù)列的周期性、數(shù)列求和，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．