Question

6．已知命題p：不等式x²-2ax-2a+3≥0恒成立；命題q：不等式x²+ax+2＜0有解．
（Ⅰ）若p∨q和￢q均為真命題，求實數a的取值范圍；
（Ⅱ）若p是真命題，拋物線y=x²與直線y=ax+1相交于M，N兩點，O為坐標原點，求△OMN面積的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）p∨q和?q均為真命題，⇒p為真命題且q為假命題．求出故命題p為真命題時，命題q為假命題時，實數a的取值范圍，再求交集．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得命題p為真命題時實數a的取值范圍，△OMN面積s=$\frac{1}{2}×$×$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$，由韋達定理即可求解．

解答 解：（Ⅰ）∵p∨q和?q均為真命題，∴p為真命題且q為假命題．
∵命題p：不等式x²-2ax-2a+3≥0恒成立，
∴△=4a²+8a-12≤0．∴-3≤a≤1．
故命題p為真命題時，-3≤a≤1．
又命題q：不等式x²+ax+2＜0有解
∴△=a²-8＞0∴a＞$2\sqrt{2}$或a＜-$2\sqrt{2}$
從而命題q為假命題時，-$2\sqrt{2}$≤a≤$2\sqrt{2}$
所以命題p為真命題，q為假命題時，實數a的取值范圍是-$2\sqrt{2}$≤a≤1．（5分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）得命題p為真命題時，-3≤a≤1
設點M、N的坐標分別為（x₁，y₁），（x₂，y₂），
聯立$\left\{{\begin{array}{l}{y=ax+1}\\{y={x^2}}\end{array}}\right.$消去y，得到x²-ax-1=0，
△OMN面積s=$\frac{1}{2}×$×$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$
$S=\frac{1}{2}\sqrt{{a^2}+4}≤\frac{{\sqrt{13}}}{2}$（10分）

點評 本題考查了命題真假的應用及直線與拋物線的位置關系，屬于中檔題．