Question

16．已知圓錐曲線E：$\frac{x^2}{2}+\frac{y^2}{k}$=1．命題p：方程E表示焦點在x軸上的橢圓；命題q：圓錐曲線E的離心率$e∈（{\sqrt{2}，\sqrt{3}}）$，若命題￢p∧q為真命題，求實數k的取值范圍．

Answer 1

分析 若命題￢p∧q為真命題，則￢p，q均為真命題，即p假q真，進而可得答案．

解答 解：因為$E：\frac{x^2}{2}+\frac{y^2}{k}=1$表示曲線，所以k≠0．
命題p是真命題，則0＜k＜2；…（2分）
命題q是真命題時，因為$e∈（{\sqrt{2}，\sqrt{3}}）$，所以${（{\sqrt{2}}）^2}＜\frac{2-k}{2}＜{（{\sqrt{3}}）^2}$，解得-4＜k＜-2．…（5分）
因為命題?p∧q為真命題，所以￢p，q均為真命題，…（7分）
當￢p為真命題時，k＜0或k≥2．…（10分）
于是命題?p∧q為真命題時，
滿足$\left\{{\begin{array}{l}{k＜0，或k≥2}\\{-4＜k＜-2}\end{array}}\right.$解得-4＜k＜-2．…（13分）

點評 本題以命題的真假判斷與應用為載體，考查了圓錐曲線，橢圓的方程，雙曲線的離心率，復合命題，難度中檔．