Question

7．如圖，四面體OABC中，$\overrightarrow{OA}$=$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{OB}$=$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{c}$，點(diǎn)M在OA上，且OM=2MA，N為BC的中點(diǎn)，$\overrightarrow{MN}$=x$\overrightarrow{a}$+y$\overrightarrow{b}$+z$\overrightarrow{c}$，則x+y+z=$\frac{1}{3}$．

Answer 1

分析 在四面體OABC中，運(yùn)用向量的多邊形法則，求出$\overrightarrow{MN}$，結(jié)合條件由$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$表示，并由空間向量基本定理，即可得到x，y，z，進(jìn)而得到所求和．

解答 解：在四面體OABC中，$\overrightarrow{MN}$=$\overrightarrow{MO}$+$\overrightarrow{OC}$+$\overrightarrow{CN}$，
點(diǎn)M在OA上，且OM=2MA，N為BC的中點(diǎn)，
可得$\overrightarrow{OM}$=$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{OA}$=$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{CN}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{CB}$=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{OB}$-$\overrightarrow{OC}$）=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{b}$-$\overrightarrow{c}$），
則$\overrightarrow{MN}$=-$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{c}$+$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{b}$-$\overrightarrow{c}$）
=-$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{a}$+$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{b}$+$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{c}$，
又$\overrightarrow{MN}$=x$\overrightarrow{a}$+y$\overrightarrow{b}$+z$\overrightarrow{c}$，
可得x=-$\frac{2}{3}$，y=z=$\frac{1}{2}$，
則x+y+z=-$\frac{2}{3}$+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{3}$．
故答案為：$\frac{1}{3}$．

點(diǎn)評 本題考查空間向量和應(yīng)用，考查多邊形法則，以及空間向量基本定理的運(yùn)用，考查運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．