Question

6．已知拋物線E：y²=2px（p＞0）的焦點F，E上一點（3，m）到焦點的距離為4．
（Ⅰ）求拋物線E的方程；
（Ⅱ）過F作直線l，交拋物線E于A，B兩點，若直線AB中點的縱坐標為-1，求直線l的方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ） 法一：利用已知條件列出方程組$\left\{\begin{array}{l}{m^2}=2p×3\\ \sqrt{{{（3-\frac{p}{2}）}^2}+{m^2}}=4\end{array}\right.$，求解即可．
法二：利用拋物線E：y²=2px（p＞0）的準線方程，由拋物線的定義列出方程，求解即可．
（Ⅱ）法一：由（Ⅰ）得拋物線E的焦點F（1，0）設A，B兩點的坐標分別為A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），利用平方差法，求出線段AB中點的縱坐標為-1，得到直線的斜率，求出直線方程．
法二：設直線l的方程為x=my+1，聯立直線與拋物線方程，設A，B兩點的坐標分別為A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），通過線段AB中點的縱坐標為-1，求出m即可．

解答 解：（Ⅰ） 法一：拋物線E：y²=2px（p＞0）的焦點F的坐標為$（\frac{p}{2}，0）$，
由已知$\left\{\begin{array}{l}{m^2}=2p×3\\ \sqrt{{{（3-\frac{p}{2}）}^2}+{m^2}}=4\end{array}\right.$…（2分）
解得P=2或P=-14
∵P＞0，∴P=2∴E的方程為y²=4x．…（4分）
法二：拋物線E：y²=2px（p＞0）的準線方程為$x=-\frac{p}{2}$，
由拋物線的定義可知$3-（-\frac{p}{2}）=4$
解得p=2∴E的方程為y²=4x．…（4分）
（Ⅱ）法一：由（Ⅰ）得拋物線E的方程為y²=4x，焦點F（1，0）
設A，B兩點的坐標分別為A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則$\left\{\begin{array}{l}{{{y}_{1}}^{2}=4{x}_{1}}\\{{{y}_{2}}^{2}=4{x}_{2}}\end{array}\right.$…（6分）
兩式相減．整理得$\frac{{{y_2}-{y_1}}}{{{x_2}-{x_1}}}=\frac{4}{{{y_2}+{y_1}}}（{x_1}≠{x_2}）$
∵線段AB中點的縱坐標為-1
∴直線l的斜率${k_{AB}}=\frac{4}{{{y_2}+{y_1}}}=\frac{4}{（-1）×2}=-2$…（10分）
直線l的方程為y-0=-2（x-1）即2x+y-2=0…（12分）
法二：由（1）得拋物線E的方程為y²=4x，焦點F（1，0）
設直線l的方程為x=my+1
由$\left\{\begin{array}{l}{y^2}=4x\\ x=my+1\end{array}\right.$消去x，得y²-4my-4=0
設A，B兩點的坐標分別為A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
∵線段AB中點的縱坐標為-1
∴$\frac{{{y_1}+{y_2}}}{2}=\frac{-（-4m）}{2}=-1$
解得$m=-\frac{1}{2}$…（10分）
直線l的方程為$x=-\frac{1}{2}y+1$即2x+y-2=0…（12分）

點評 本題考查拋物線的方程的綜合應用，直線與拋物線的位置關系的應用，平方差法的應用，考查轉化思想以及計算能力．