Question

15．一臺機器使用時間較長，但還可以使用．它按不同的轉速生產出來的某機械零件有一些會有缺點，每小時生產有缺點零件的多少，隨機器運轉的速度而變化，如表為抽樣試驗結果：

轉速x（轉/秒）	16	14	12	8
每小時生產有 缺點的零件數y（件）	11	9	8	5

（1）用相關系數r對變量y與x進行相關性檢驗；
（2）如果y與x有線性相關關系，求線性回歸方程；
（3）若實際生產中，允許每小時的產品中有缺點的零件最多為10個，那么，機器的運轉速度應控制在什么范圍內？（結果保留整數）
參考數據：$\sum_{i=1}^{4}$x_iy_i=438，t=m²-1，$\sum_{i=1}^{4}$y_i²=291，$\sqrt{656.25}$≈25.62．
參考公式：相關系數計算公式：r=$\frac{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}-\overline{x}）（{y}_{i}-\overline{y}）}{\sqrt{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}-\overline{x}）^{2}•\sum_{i=1}^{n}（{y}_{i}-\overline{y}）^{2}}}$
回歸方程$\stackrel{∧}{y}$=$\stackrel{∧}{b}$x+$\stackrel{∧}{a}$中斜率和截距的最小二乘估計公式分別為：$\stackrel{∧}{b}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}-\overline{x}）（{y}_{i}-\overline{y}）}{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}-\overline{x}）^{2}}$，$\stackrel{∧}{a}$=$\stackrel{∧}{y}$-$\stackrel{∧}{b}$$\overline{x}$．

Answer 1

分析 （1）根據表中數據計算$\overline{x}$、$\overline{y}$與相關系數r的值，判斷y與x有很強的線性相關關系；
（2）求出回歸方程$\stackrel{∧}{y}$=$\stackrel{∧}{b}$x+$\stackrel{∧}{a}$的系數$\stackrel{∧}{b}$、$\stackrel{∧}{a}$，寫出線性回歸方程；
（3）利用回歸方程求出$\stackrel{∧}{y}$≤10的x值即可．

解答 解　（1）根據表中數據，計算$\overline{x}$=$\frac{1}{4}$×（16+14+12+8）=12.5，
$\overline{y}$=$\frac{1}{4}$×（11+9+8+5）=8.25，
4$\overline{x}$$\overline{y}$=4×12.5×8.25=412.5，…（2分）
所以相關系數r=$\frac{{{\sum_{i=1}^{4}x}_{i}y}_{i}-4\overline{x}\overline{y}}{\sqrt{（{{\sum_{i=4}^{4}x}_{i}}^{2}-{4\overline{x}}^{2}）（{{\sum_{i=1}^{4}y}_{i}}^{2}-{4\overline{y}}^{2}）}}$
=$\frac{438-412.5}{\sqrt{（660-625）×（291-272.25）}}$
=$\frac{25.5}{\sqrt{656.25}}$
≈$\frac{25.5}{25.62}$
≈0.995；…（4分）
因為r＞0.75，所以y與x有很強的線性相關關系；          …（5分）
（2）回歸方程$\stackrel{∧}{y}$=$\stackrel{∧}{b}$x+$\stackrel{∧}{a}$中，$\stackrel{∧}{b}$=$\frac{{{\sum_{i=1}^{4}x}_{i}y}_{i}-4\overline{x}\overline{y}}{\sum_{i=1}^{4}{{x}_{i}}^{2}-4{\overline{x}}^{2}}$≈0.7286，
$\stackrel{∧}{a}$=$\overline{y}$-$\stackrel{∧}{b}$$\overline{x}$=8.25-0.728 6×12.5=-0.857 5，
∴所求線性回歸方程為$\stackrel{∧}{y}$=0.728 6x-0.857 5．…（9分）
（3）要使$\stackrel{∧}{y}$≤10，即0.728 6x-0.857 5≤10，
解得x≤14.901 9≈15．
所以機器的轉速應控制在15轉/秒以下．   …（12分）

點評 本題考查了相關系數r與線性回歸方程的求法與應用問題，是綜合性題目．