Question

已知△ABC的外接圓半徑為1，且A+C=2B，若角A，B，C所對的邊長分別為a，b，c．
（1）求a²+c²的取值范圍；
（2）求△ABC面積的最大值．

Answer 1

考點：正弦定理,余弦定理

專題：解三角形

分析：（1）由A+C=2B，A+C+B=π，可得B=

π

3

．利用正弦定理可得：a=2sinA，c=2sinC，代入化簡可得a²+c²=2cos(2A-

2π

3

)+4，利用A∈(0，

2π

3

)即可得出．
（2）利用基本不等式的性質(zhì)可得2ac≤a²+c²≤6，再利用S_△ABC=

1

2

acsinB即可得出．

解答： 解：（1）∵A+C=2B，A+C+B=π，∴B=

π

3

．
由正弦定理可得：

a

sinA

=

b

sinB

=

c

sinC

=2，∴a=2sinA，c=2sinC，
∴a²+c²=4sin²A+4sin²C=2（1-cos2A）+2（1-cos2C）=4-4cos（A+C）cos（A-C）=2cos（A-C）+4=2cos(2A-

2π

3

)+4，
∵A∈(0，

2π

3

)，∴(2A-

2π

3

)∈(-

2π

3

，

2π

3

)．∴cos(2A-

2π

3

)∈(-

1

2

，1]．
∴a²+c²∈（3，6]．
（2）∵2ac≤a²+c²≤6，∴ac≤3．
∴S_△ABC=

1

2

acsinB≤

1

2

×3×sin

π

3

=

3 3

4

，當且僅當a=c=

3

2

時取等號．

點評：本題考查了正弦定理、三角形的內(nèi)角和定理、兩角和差的余弦公式、倍角公式、三角函數(shù)的單調(diào)性、基本不等式的性質(zhì)、三角形的面積計算公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．