Question

已知n，k∈N^*，且k≤n，kC

k n

=nC

k-1 n-1

，則可推出
C

1 n

+2C

2 n

+3C

3 n

+…+kC

k n

+…+nC

n n

=n（C

0 n-1

+C

1 n-1

+…+C

k-1 n-1

+…+C

n-1 n-1

）=n•2^n-1．
由此，可推出C

1 n

+2²C

2 n

+3²C

3 n

+…+k²C

k n

+…+n²C

n n

=

 

．

Answer 1

考點：二項式定理的應用

專題：二項式定理

分析：由（1+x）ⁿ=

C

0 n

+x

C

1 n

+x²

C

2 n

+…+xⁿ•

C

n n

，兩邊求導數，二次求導數，令x=1，即可得出正確的結果．

解答： 解：∵（1+x）ⁿ=

C

0 n

+x

C

1 n

+x²

C

2 n

+…+xⁿ•

C

n n

，
∴兩邊求導數，得
n（1+x）^n-1=

C

1 n

+2x

C

2 n

+3x²

C

3 n

+…+nx^n-1

C

n n

，
兩邊同乘以x，得
nx（1+x）^n-1=x

C

1 n

+2x²

C

2 n

+3x³

C

3 n

+…+nxⁿ

C

n n

，
兩邊再求導，得
n（1+x）^n-1+n（n-1）x（1+x）^n-2=

C

1 n

+2²•

C

2 n

•x+3²•

C

3 n

•x²+…+n²•

C

n n

x^n-1，
令x=1，左邊=n•2^n-1+n（n-1）•2^n-2=n（n+1）2^n-2，
右邊=

C

1 n

+2²

C

2 n

+3²

C

3 n

+…+n²

C

n n

；
所以C

1 n

+2²C

2 n

+3²C

3 n

+…+k²C

k n

+…+n²C

n n

=n（n+1）2^n-2．
故答案為：n（n+1）2^n-2．

點評：本題考查了二項式定理的應用問題，解題時應靈活應用求導公式以及特殊值進行計算，是綜合性題目．