Question

已知△ABC的內角A，B，C所對邊的長分別是a，b，c，且a=2

3

b，C=

π

6

．
（Ⅰ）求tanA的值；
（Ⅱ）若△ABC的面積為2

3

，求c的值．

Answer 1

考點：余弦定理,正弦定理

專題：解三角形

分析：（I）由a=2

3

b，C=

π

6

．利用正弦定理可得：sinA=2

3

sinB，即sinA=2

3

sin(A+

π

6

)，展開化簡即可得出；
（II）由S_△=

1

2

absin

π

6

=2

3

，可得ab=8

3

，與a=2

3

b聯立，解得a，b．由余弦定理可得：c²=a²+b²-2abcosC解出即可．

解答： 解：（I）∵a=2

3

b，C=

π

6

．∴由正弦定理可得：sinA=2

3

sinB，
∴sinA=2

3

sin(A+

π

6

)，展開為sinA=2

3

(

3

2

sinA+

1

2

cosA)，
化為2sinA+

3

cosA=0，
∵cosA≠0，∴tanA=-

3

2

．
（II）∵S_△=

1

2

absin

π

6

=2

3

，∴ab=8

3

，與a=2

3

b聯立，解得

a=4 3 b=2

．
由余弦定理可得：c²=a²+b²-2abcosC=48+4-2×8

3

×

1

2

=52-8

3

，
∴c=

52-8 3

．

點評：本題考查了正弦定理余弦定理、兩角和差的正弦公式、三角形的面積計算公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．