Question

偶函數(shù)f（x）滿足f（1）=0，且當(dāng)x∈（0，+∞），f （x）是減函數(shù)，求不等式f（log_ax）＜0解集．

Answer 1

考點(diǎn)：奇偶性與單調(diào)性的綜合

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：本題可以先研究函數(shù)f（x）特征，對(duì)稱性，過定點(diǎn)，單調(diào)性，得到f（x）＜0的解，再解不等式f（log_ax）＜0，得到log_ax的范圍，對(duì)a進(jìn)行分類討論，得到本題結(jié)論．

解答： 解：∵函數(shù)f（x）是偶函數(shù)，
∴f（-x）=f（x），函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱．
∵f（x）滿足f（1）=0，
∴函數(shù)f（x）的圖象過點(diǎn)（1，0），（-1，0）．
∵當(dāng)x∈（0，+∞），f （x）是減函數(shù)，
∴當(dāng)x∈（-∞，0），f （x）是增函數(shù)．
∴當(dāng)x＜-1時(shí)，f（x）＜0，
當(dāng)-1＜x＜0時(shí)，f（x）＞0，
當(dāng)0＜x＜1時(shí)，f（x）＞0，
當(dāng)x＞1時(shí)，f（x）＜0，
∵不等式f（log_ax）＜0，
∴l(xiāng)og_ax＜-1或log_ax＞1，
當(dāng)a＞1時(shí)，0＜x＜

1

a

或x＞a，
當(dāng)0＜a＜1時(shí)，0＜x＜a或x＞

1

a

，
∴當(dāng)a＞1時(shí)，不等式的解集為：{x|0＜x＜

1

a

或x＞a}，
當(dāng)0＜a＜1時(shí)，不等式的解集為：{x|0＜x＜a或x＞

1

a

}．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性，還考查了分類討論的數(shù)學(xué)思想，本題難度適中，屬于中檔題．