Question

已知兩個不相等的實數a、b滿足以下關系式：a²sinθ+acosθ-

π

4

=0，b²sinθ+bcosθ-

π

4

=0，則連接A（a²，a）、B（b²，b）兩點的直線與圓x²+y²=1的位置關是（　　）

• A、相離
• B、相切
• C、相交
• D、不能確定

Answer 1

考點：直線與圓的位置關系

專題：直線與圓

分析：根據已知條件推斷a，b是一元二次方程x²sinθ+xcosθ-

π

4

=0的兩根，根據韋達定理求得a+b和ab的表達式，進而利用兩點式表示出AB的直線方程，利用點到直線的距離公式表示出圓心到直線的距離，最后判斷與半徑的大小比較即可．

解答： 解：由a²sinθ+acosθ-

π

4

=0，b²sinθ+bcosθ-

π

4

=0，可知a，b是一元二次方程x²sinθ+xcosθ-

π

4

=0的兩根
所以a+b=-

cosθ

sinθ

，ab=-

π 4

sinθ

，
而連接A（a²，a）、B（b²，b）兩點的直線方程為y=

b-a

b2-a2

（x-a²）+a，即x-（a+b）y+ab=0
則圓心即原點到直線的距離d=

|ab|

1+(a+b)2

=

π 4 sinθ

1+ cos2θ sin2θ

=

π

4

＜1，
∴直線與圓相交，
故選C．

點評：本題主要考查了直線與圓的位置關系的問題．解題的一般方法就是求圓心到直線的距離，與半徑比較大小．