Question

【題目】已知函數.

（1）若在上存在單調遞增區間，求實數的取值范圍；

（2）設，若，恒有成立，求的最小值.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）求導得到，根據題意得到在上有解，則，計算得到答案.

（2）設，，計算得到單調遞增，故，討論，，三種情況，得到的取值范圍為，設，根據函數的單調性得到答案.

（1）由，得，

由在上存在單調遞增區間，可得在上有解，

即在上有解，則，∴，

∴的取值范圍為.

（2）設，，

則.

設，則，

∴單調遞增，即在上單調遞增 ∴.

當時，，在上單調遞增，∴，不符合題意；

當時，，在上單調遞減，，符合題意；

當時，由于為一個單調遞增的函數，

而，，

由零點存在性定理，必存在一個零點，使得，

從而在上單調遞減，在上單調遞增，

因此只需，∴，∴，從而，

綜上，的取值范圍為，

因此.設，則，

令，則，∴在上單調遞減，在上單調遞增，

從而，∴的最小值為.