Question

【題目】已知橢圓的離心率為，且過點，直線交橢圓于不同的兩點，設線段的中點為．

（1）求橢圓的方程；

（2）當的面積為（其中為坐標原點）且時，試問：在坐標平面上是否存在兩個定點，使得當直線運動時，為定值？若存在，求出點的坐標和定值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在點，或，，使得為定值．

【解析】

試題分析：（1）求橢圓標準方程，由于已知離心率為，這樣可得，從而可得，從而可設可橢圓方程為，再把橢圓上點的坐標代入可解得，得橢圓方程；

（2）由題設結論可知中點的坐標適合一個橢圓方程，即點在橢圓上，那么題中要求的定點就是橢圓的焦點．實質上從問題出發，就讓我們想到點應該在某個橢圓上．因此從這方面入手，就要求的軌跡方程，因此我們從已知出發先找出參數的關系，再求出弦中點的坐標（用表示），然后消去參數可得．

具體方法：由直線方程，與橢圓方程聯立方程組，消去后得的一元二次方程：，已知保證，即直線與橢圓一定相交，設，可得，于是有，從而點的坐標，由直線圓錐曲線相交弦長公式可得弦長，由點到直線距離公式可得原點點到直線的距離為，利用的面積為可得滿足的關系：，

試題解析：（1）由于橢圓的離心率為，則，故橢圓：

又橢圓過點，從而，從而橢圓的方程為．

（2）當直線的斜率存在時，設其方程為，并設，聯立方程，

得，則

從而，從而點的坐標為

由于，點到直線的距離為，

則的面積

由題得：，

從而化簡得：

故，即或，

又由于，從而．

當時，由于，，

從而

即點在橢圓上．

由橢圓的定義得，存在點，或，，

使得為定值．