Question

已知函數f（x）=-x²-x+ln（x+1）
（1）求函數y=f（x）的極值；
（2）若函數y=f（x）（x∈[0，2]）的圖象與直線y=-

5

2

x+m恰有兩個公共點，求實數m的取值范圍；
（3）證明：ln（n+1）＜

2

12

+

3

22

+…+

n+1

n2

（n∈N^*）．

Answer 1

考點：導數在最大值、最小值問題中的應用,利用導數研究函數的極值

專題：計算題,證明題,導數的綜合應用,不等式的解法及應用

分析：（1）求出導數，由導數大于0，得增區間，導數小于0，得減區間，進而得到極值；
（2）函數y=f（x）（x∈[0，2]）的圖象與直線y=-

5

2

x+m恰有兩個公共點，即為方程ln（x+1）+

3

2

x-x²=m在[0，2]有兩個不相等的實數根．令g（x）=ln（x+1）+

3

2

x-x²，運用導數求出在區間[0，2]上的最值，即可得到m的范圍；
（3）由（1）當x＞-1時，f（x）在x=0處取得極大值0，也為最大值0，則ln（1+x）≤x+x²=x（1+x）
令x=

1

n

，得ln（1+

1

n

）=ln（1+n）-lnn＜

1+n

n2

，運用累加法，計算即可得證．

解答： （1）解：函數f（x）=-x²-x+ln（x+1）（x＞-1）的導數為：
f′（x）=-2x-1+

1

x+1

=

-x(2x+3)

x+1

，
當-1＜x＜0時，f′（x）＞0，f（x）遞增；當x＞0時，f′（x）＜0，f（x）遞減．
則f（x）在x=0處取得極大值，且為0，無極小值．
（2）解：函數y=f（x）（x∈[0，2]）的圖象與直線y=-

5

2

x+m恰有兩個公共點，
即為方程ln（x+1）+

3

2

x-x²=m在[0，2]有兩個不相等的實數根．
令g（x）=ln（x+1）+

3

2

x-x²，g′（x）=

1

x+1

+

3

2

-2x=

-4x2-x+5

2(x+1)

，
當0＜x＜1時，g′（x）＞0，g（x）遞增；當1＜x＜2時，g′（x）＜0，g（x）遞減．
則g（x）在x=1時，取得最大值且為ln2+

1

2

，
由于g（0）=0，g（2）=ln3-1＞0，
則有ln3-1≤m＜ln2+

1

2

，
即有m的取值范圍為[ln3-1，ln2+

1

2

）；
（3）證明：由（1）當x＞-1時，f（x）在x=0處取得極大值0，也為最大值0，
則ln（1+x）≤x+x²=x（1+x）
令x=

1

n

，得ln（1+

1

n

）=ln（1+n）-lnn＜

1+n

n2

，
∴ln2-ln1＜

2

1

，ln3-ln2＜

3

22

，…，
ln（1+n）-lnn＜

1+n

n2

，
上面n個不等式相加，得ln（1+n）-ln1＜

2

12

+

3

22

+…+

n+1

n2

（n∈N^*），
則有ln（n+1）＜

2

12

+

3

22

+…+

n+1

n2

（n∈N^*）．

點評：本題考查導數的運用：求單調區間和求極值、最值，考查函數和方程的轉化思想，考查不等式的證明方法：運用函數的最值，由裂項相加，考查運算能力，屬于中檔題．