Question

14．如圖，四邊形ABCD是邊長為2的正方形，PA⊥平面ABCD，DE∥PA，PA=2DE=AB，F為PC的中點．
（1）求證：EF∥平面ABCD；
（2）求點A到平面PEC的距離．

Answer 1

分析 （1），連接DB，AC，設AC，DB交于點H，則H為AC中點可得四邊形EDHF為平行四邊形，即EF∥DB，EF∥平面ABCD．
（2）設點A到平面PEC的距離為d，由V_C-APE=V_A-PEC，即$\frac{1}{3}×\sqrt{6}×d=\frac{1}{3}×2×2$，解得d．

解答 解：（1）如圖，連接DB，AC，設AC，DB交于點H，則H為AC中點
又F為PC的中點，∴$FH∥AP，FH=\frac{1}{2}AP=1$，∴ED∥FH，ED=FH
故四邊形EDHF為平行四邊形，∴EF∥DB，且EF?面ABCD，∴EF∥平面ABCD．

（2）依題意可得DE$⊥面ABCD\$，即CE=$\sqrt{C{D}^{2}+D{E}^{2}}=\sqrt{5}$，
在直角梯形ADEP中，可得PE=$\sqrt{{2}^{2}+{1}^{1}}=\sqrt{5}$，
CP=$\sqrt{A{C}^{2}+P{A}^{2}}=2\sqrt{3}$
∴${s}_{△PEC}=\frac{1}{2}×PC×EF=\frac{1}{2}×2\sqrt{3}×\sqrt{5-3}$=$\sqrt{6}$
s_△APE=$\frac{1}{2}×PA×AD=2$
設點A到平面PEC的距離為d，
∵V_C-APE=V_A-PEC，
且CD⊥面ADEP，即$\frac{1}{3}×\sqrt{6}×d=\frac{1}{3}×2×2$，解得d=$\frac{2\sqrt{6}}{3}$

點評 本題主要考查了線面平行的判定，及利用等體積法求點面距離，屬于中檔題．