Question

16．已知Rt△ABC中，∠C=90°．AC=3，BC=4，P為線段AB上的點，且$\overrightarrow{CP}$=$\frac{x}{|\overrightarrow{CA}|}$•$\overrightarrow{CA}$+$\frac{y}{|\overrightarrow{CB}|}$•$\overrightarrow{CB}$，則xy的最大值為（　　）

• A． 3
• B． 2
• C． 1
• D． 4

Answer 1

分析 根據三點共線的向量式子，得出x與y的關系．根據基本不等式得出xy的最大值．

解答 解：P為線段AB上的點，且$\overrightarrow{CP}$=$\frac{x}{|\overrightarrow{CA}|}$•$\overrightarrow{CA}$+$\frac{y}{|\overrightarrow{CB}|}$•$\overrightarrow{CB}$．
∴$\frac{x}{|\overrightarrow{CA}|}+\frac{y}{|\overrightarrow{BC}|}$=$\frac{x}{3}+\frac{y}{4}=1$且x＞0，y＞0
∴$\frac{x}{3}+\frac{y}{4}≥2\sqrt{\frac{x}{3}•\frac{y}{4}}=\sqrt{\frac{xy}{3}}$
∴xy≤3
當且僅當$\frac{x}{3}=\frac{y}{4}$時，等號成立．
則xy的最大值為3．
故選：A．

點評 考查平面向量三點共線問題，基本不等式．