Question

16．已知函數f（x）=$\frac{1}{2}a{x^2}$+2x-lnx．
（1）若a=-$\frac{3}{4}$，判斷函數f（x）的單調性；
（2）若函數f（x）在定義域內單調遞減，求實數a的取值范圍；
（3）當a=-$\frac{1}{2}$時，關于x的方程f（x）=$\frac{1}{2}$x-b在[1，4]上恰有兩個不相等的實數根，求實數b的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出函數的導數，解關于導函數的不等式，求出函數的單調區間即可；
（2）求出導數，依題意f′（x）≤0在x＞0時恒成立，即ax²+2x-1≤0在x＞0恒成立，對a討論，則有a＜0，判別式不小于0，即可；
（3）由題意設g（x）=$\frac{1}{4}$x²-$\frac{3}{2}$x+lnx-b，求得導數，列表表示g（x）和g′（x）的關系，得到極小值和極大值，
又方程g（x）=0在[1，4]上恰有兩個不相等的實數根．則令g（1）≥0，g（2）＜0，g（4）≥0，解出它們即可，．

解答 解：（1）f′（x）=$\frac{{ax}^{2}+2x-1}{x}$，（x＞0），
∵a=-$\frac{3}{4}$時，由f′（x）=$\frac{-{\frac{3}{4}x}^{2}+2x-1}{x}$＞0，
得3x²-8x+4＜0，∴$\frac{2}{3}$＜x＜2，
故f（x）在（$\frac{2}{3}$，2）內遞增，在（0，$\frac{2}{3}$）和（2，+∞）內遞減．       
（2）函數f（x）的定義域為（0，+∞），依題意f′（x）≤0在x＞0時恒成立，
即ax²+2x-1≤0在x＞0時恒成立，
則a≤$\frac{1-2x}{{x}^{2}}$=${（\frac{1}{x}-1）}^{2}$-1在x＞0時恒成立，即a≤-1，
∴a的取值范圍是（-∞，-1]；
（3）由題意-$\frac{1}{4}$x²+2x-lnx=$\frac{1}{2}$x-b，
即$\frac{1}{4}$x²-$\frac{3}{2}$x+lnx-b=0，
設g（x）=$\frac{1}{4}$x²-$\frac{3}{2}$x+lnx-b，
則g′（x）=$\frac{（x-2）（x-1）}{2x}$，
列表：

x	（0，1）	1	（1，2）	2	（2，4）
g′（x）	+	0	-	0	+
g（x）	↑	極大值	↓	極小值	↑

∴g（x）_極大值=g（1）=-b-$\frac{5}{4}$，g（x）_極小值=g（2）=ln2-b-2，又g（4）=2ln2-b-2
又方程g（x）=0在[1，4]上恰有兩個不相等的實數根．
則 $\left\{\begin{array}{l}{g（1）≥0}\\{g（2）＜0}\\{g（4）≥0}\end{array}\right.$，得 ln2-2＜b≤-$\frac{5}{4}$（注意-$\frac{5}{4}$＜-1＜2ln2-2），
∴b的取值范圍為（ln2-2，-$\frac{5}{4}$]．

點評 本題考查導數的運用：求單調性，求極值，考查函數方程的數學轉換，考查運算能力，屬于中檔題．