Question

4．如圖，已知四棱錐S-ABCD中，SA⊥平面ABCD，∠ABC=∠BCD=90°，且SA=AB=BC=2CD，E是邊SB的中點．
（1）求證：CE∥平面SAD；
（2）求二面角D-EC-B的余弦值大小；
（3）求三棱錐S-ECD與四棱錐E-ABCD的體積比．

Answer 1

分析 （1）取SA中點F，連接EF，FD，證明EF∥AB，AB∥CD，推出EF∥CD，FD∥EC，然后證明CE∥面SAD．
（2）以AB，AM，AS所在直線分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標系，求出面BCE的一個法向量，面DEC的一個法向量，利用向量的數量積求解二面角D-EC-B平面角的余弦值．
（3）連接AC，BD．通過V_E-ABC=2V_E-BCD，結合V_E-ABCD=V_E-ACD+V_E-ABC=V_E-BCD+V_E-ABC=3V_E-BCD，推出V_E-ABCD=3V_S-ECD．得到結果．

解答 （1）證明：取SA中點F，連接EF，FD，

∵E是邊SB的中點，
∴EF∥AB，且$EF=\frac{1}{2}AB$，
又∵∠ABC=∠BCD=90°，
∴AB∥CD，
又∵AB=2CD，即$CD=\frac{1}{2}AB$
∴EF∥CD，且EF=CD，
∴四邊形EFDC為平行四邊形，
∴FD∥EC，
又FD⊆面SAD，CE?面SAD，
∴CE∥面SAD．
（2）解：在底面內過點A作直線AM∥BC，則AB⊥AM，又SA⊥平面ABCD，
以AB，AM，AS所在直線分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標系，如圖．

設AB=2，則A（0，0，0）、B（2，0，0）、C（2，2，0）、D（1，2，0），E（1，0，1），
則$\overrightarrow{BC}=（0，2，0）$，$\overrightarrow{BE}=（-1，0，1）$，$\overrightarrow{CD}=（-1，0，0）$，$\overrightarrow{CE}=（-1，-2，1）$，
設面BCE的一個法向量為$\overrightarrow n=（x，y，z）$，則$\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow n•\overrightarrow{BC}=0\\ \overrightarrow n•\overrightarrow{BE}=0\end{array}\right.$即$\left\{\begin{array}{l}2y=0\\-x+z=0\end{array}\right.$
令x=1，則z=1，∴$\overrightarrow n=（1，0，1）$．
同理可求面DEC的一個法向量為$\overrightarrow m=（0，1，2）$w，$cos＜\overrightarrow n，\overrightarrow m＞=\frac{\overrightarrow n•\overrightarrow m}{|\overrightarrow n|•|\overrightarrow m|}=\frac{{\sqrt{10}}}{5}$，
由圖可知，二面角D-EC-B是鈍二面角，
所以其平面角的余弦值為$-\frac{{\sqrt{10}}}{5}$．
（3）解：連接AC，BD．
∵AB∥CD，且AB=2CD，
∴S_△ABC=2S_△BCD，

∴V_E-ABC=2V_E-BCD，
又由S_△ACD=S_△BCD，得V_E-ACD=V_E-BCD，
∴V_E-ABCD=V_E-ACD+V_E-ABC=V_E-BCD+V_E-ABC=3V_E-BCD，
∵E是邊SB中點，∴S_△SCE=S_△BCE，
∴V_D-SCE=V_D-BCE，
又V_S-ECD=V_D-SCE，V_E-BCD=V_D-BCE，
∴V_E-ABCD=3V_S-ECD．
即三棱錐S-ECD與四棱錐E-ABCD的體積比為1：3．

點評 本題考查直線與平面平行的判定定理以及二面角的平面角的求法，幾何體的體積的求法，考查空間想象能力以及計算能力．