Question

13．已知長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的外接球O的體積為$\frac{32π}{3}$，其中BB₁=2，則三棱錐O-ABC的體積的最大值為（　　）

• A． 1
• B． 3
• C． 2
• D． 4

Answer 1

分析 設(shè)AB=a，AD=b，推導出a²+b²=12，ab≤$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}}{2}$=6，由此能求出三棱錐O-ABC的體積的最大值．

解答 解：設(shè)AB=a，AD=b，
∵長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的外接球O的體積為$\frac{32π}{3}$，BB₁=2，
∴外接球O的半徑R=2，
∴a²+b²+4=16，
∴a²+b²=12，
∴ab≤$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}}{2}$=6，
∵O到平面ABC的距離d=$\frac{1}{2}$BB₁=1，
S_△ABC=$\frac{1}{2}ab$≤3，
∴三棱錐O-ABC的體積V=$\frac{1}{3}×{S}_{△ABC}×d$≤$\frac{1}{3}×3×1$=1．
∴三棱錐O-ABC的體積的最大值為1．
故選：A．

點評 本題考查三棱錐的體積的最大值的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．