Question

15．已知橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的離心率e=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，且橢圓C經過點$A（1，-\frac{{\sqrt{3}}}{2}）$，直線l：y=x+m與橢圓C交于不同的兩點A，B．
（1）求橢圓C的方程；
（2）若△AOB的面積為1（O為坐標原點），求直線l的方程．

Answer 1

分析 （1）由題意可知：離心率$e=\frac{c}{a}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，a²=4b²，將$A（1，-\frac{{\sqrt{3}}}{2}）$代入橢圓方程$\frac{1}{a^2}+\frac{3}{{4{b^2}}}=1$，即可求得a和b的值，寫出橢圓C的方程；
（2）將直線方程代入橢圓方程，由韋達定理，結合弦長公式即可求得丨AB丨，利用三角形的面積公式，即可求得三角形的面積公式，代入即可求得m的值，即可求得直線l的方程．

解答 解：（1）橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）焦點在x軸上，
∵離心率$e=\frac{c}{a}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，
∴$\frac{c^2}{a^2}=\frac{3}{4}$，即$\frac{{{a^2}-{b^2}}}{a^2}=\frac{3}{4}$，得a²=4b²，①
∵橢圓C經過點$A（1，-\frac{{\sqrt{3}}}{2}）$，
∴$\frac{1}{a^2}+\frac{3}{{4{b^2}}}=1$，②
聯立①②，解得a²=4，b²=1，
∴橢圓C的方程為$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$．
（2）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
$\left\{\begin{array}{l}{y=x+m}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，整理得：5x²+8mx+4m²-4=0．
由△=64m²-4×5×（4m²-4）＞0，解得：$-\sqrt{5}＜m＜\sqrt{5}$，
由韋達定理可知：${x_1}+{x_2}=-\frac{8m}{5}$，${x_1}{x_2}=\frac{{4{m^2}-4}}{5}$，
∴$|AB|=\sqrt{{1^2}+1}•\sqrt{{{（{x_1}+{x_2}）}^2}-4{x_1}{x_2}}$=$\sqrt{2}•\sqrt{{{（-\frac{8m}{5}）}^2}-4•\frac{{4{m^2}-4}}{5}}=\frac{{4\sqrt{2}•\sqrt{5-{m^2}}}}{5}$，
原點O到直線l：x-y+m=0的距離$d=\frac{|m|}{{\sqrt{2}}}$，
∴${S_{△AOB}}=\frac{1}{2}|AB|•d=\frac{1}{2}•\frac{{4\sqrt{2}•\sqrt{5-{m^2}}}}{5}•\frac{|m|}{{\sqrt{2}}}=1$，
化簡得，4m⁴-20m²+25=0，∴${m^2}=\frac{5}{2}$，
∴$m=±\frac{{\sqrt{10}}}{2}$，
∴直線l的方程為$y=x±\frac{{\sqrt{10}}}{2}$．

點評 本題考查橢圓的標準方程，直線與橢圓的位置關系，考查韋達定理，弦長公式及三角形面積公式的應用，考查計算能力，屬于中檔題．