Question

已知橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的兩個(gè)焦點(diǎn)F₁、F₂，離心率為

1

2

，過(guò)左焦點(diǎn)F₁的直線交橢圓于A、B兩點(diǎn)，且△ABF₂的周長(zhǎng)為8．
（1）求橢圓的方程；
（2）若動(dòng)直線l：y=kx+m與橢圓只有一個(gè)交點(diǎn)M，且與直線x=4交于點(diǎn)N，問(wèn)：是否存在x軸上的某定點(diǎn)Q，使得以MN為直徑的圓經(jīng)過(guò)Q，若存在，求出Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專題：計(jì)算題,直線與圓,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）運(yùn)用橢圓的定義，得到4a=8，求得a=2，再由離心率公式，得到c=1，再由a，b，c的關(guān)系，求出b，進(jìn)而得到橢圓方程；
（2）假設(shè)存在x軸上的某定點(diǎn)Q，使得以MN為直徑的圓經(jīng)過(guò)Q．將直線l：y=kx+m，代入橢圓方程，求出M的坐標(biāo)，求出向量的坐標(biāo)，利用

MQ

•

NQ

=0，即可得出結(jié)論．

解答： 解：（1）在三角形ABF₂中，|AF₁|+|AF₂|=|BF₁|+|BF₂|=2a，
則△ABF₂的周長(zhǎng)為4a=8，即有a=2，
由于離心率為

1

2

，即e=

c

a

=

1

2

，則c=1，b=

a2-c2

=

3

，
則橢圓的方程為

x2

4

+

y2

3

=1；
（2）假設(shè)存在x軸上的某定點(diǎn)Q，使得以MN為直徑的圓經(jīng)過(guò)Q．
將直線方程y=kx+m代入橢圓方程3x²+4y²=12得：（3+4k²）x²+8kmx+4m²-12=0，
∴△=64k²m²-4（3+4k²）（4m²-12）=0，即m²=3+4k²．
∴x_M=-

4km

3+4k2

=-

4k

m

，y_M=kx_M+m=-

4k2

m

+m=

3

m

，即M（-

4k

m

，

3

m

）．
∵Q（t，0），又N（4，4k+m），
則

MQ

•

NQ

=（t+

4k

m

，-

3

m

）•（t-4，-4k-m）=（t+

4k

m

）（t-4）+

3

m

•（4k+m）
=t²-4t+3+

4k

m

（t-1）=0恒成立，
故

t=1 t2-4t+3=0

，即t=1．
∴存在點(diǎn)Q（1，0）適合題意．

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的方程和定義、性質(zhì)，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查向量知識(shí)的運(yùn)用，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．