Question

7．已知函數f（x）=sin（ωx+φ）+cos（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）是奇函數，直線y=$\sqrt{2}$與函數f（x）的圖象的兩個相鄰交點的橫坐標之差的絕對值為$\frac{π}{2}$，則（　　）

• A． f（x）在$（0，\frac{π}{4}）$上單調遞減
• B． f（x）在$（\frac{π}{8}，\frac{3π}{8}）$上單調遞減
• C． f（x）在$（0，\frac{π}{4}）$上單調遞增
• D． f（x）在$（\frac{π}{8}，\frac{3π}{8}）$上單調遞增

Answer 1

分析 根據兩角和的正弦函數化簡解析式，由條件和誘導公式求出φ的值，由條件和周期共識求出ω的值，根據正弦函數的單調性和選項判斷即可．

解答 解：由題意得，f（x）=sin（ωx+φ）+cos（ωx+φ）
=$\sqrt{2}$[$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin（ωx+φ）+$\frac{\sqrt{2}}{2}$cos（ωx+φ）]
=$\sqrt{2}sin（ωx+φ+\frac{π}{4}）$，
∵函數f（x）（ω＞0，0＜φ＜π）是奇函數，
∴$φ+\frac{π}{4}=kπ（k∈Z）$，則$φ=-\frac{π}{4}+kπ（k∈Z）$，又0＜φ＜π，
∴φ=$\frac{3π}{4}$，∴f（x）=$\sqrt{2}sin（ωx+\frac{3π}{4}+\frac{π}{4}）$=$-\sqrt{2}sinωx$，
∵y=$\sqrt{2}$與f（x）的圖象的兩個相鄰交點的橫坐標之差的絕對值為$\frac{π}{2}$，
∴T=$\frac{2π}{ω}=\frac{π}{2}$，則ω=4，即f（x）=$-\sqrt{2}sin4x$，
由$x∈（0，\frac{π}{4}）$得4x∈（0，π），則f（x）在$（0，\frac{π}{4}）$上不是單調函數，排除A、C；
由$x∈（\frac{π}{8}，\frac{3π}{8}）$得4x∈$（\frac{π}{2}，\frac{3π}{2}）$，則f（x）在$（\frac{π}{8}，\frac{3π}{8}）$上是增函數，排除B，
故選：D．

點評 本題考查兩角和的正弦函數、誘導公式，三角函數的周期公式，以及正弦函數的單調性的應用，考查化簡、計算能力．