Question

19．設$a=\int_0^π{sinxdx}$，則${（a\sqrt{x}+\frac{1}{x}）^6}$展開式的常數項為（　　）

• A． -20
• B． 20
• C． -160
• D． 240

Answer 1

分析 利用定積分求出a的值，再利用二項式展開式的通項公式求出展開式的常數項．

解答 解：$a=\int_0^π{sinxdx}$=-cosx${|}_{0}^{π}$=-（cosπ-cos0）=2，
則${（a\sqrt{x}+\frac{1}{x}）^6}$=${（2\sqrt{x}+\frac{1}{x}）}^{6}$展開式的通項公式為：
T_r+1=${C}_{6}^{r}$•${（2\sqrt{x}）}^{6-r}$•${（\frac{1}{x}）}^{r}$
=2^6-r•${x}^{3-\frac{3}{2}r}$•${C}_{6}^{r}$，
令3-$\frac{3}{2}$r=0得：r=2．
∴展開式中的常數項為2⁴•${C}_{6}^{2}$=240．
故選：D．

點評 本題考查了定積分與二項式展開式的通項公式應用問題，是基礎題．