Question

16．已知f（x）=|xe^x|，又g（x）=f²（x）-tf（x）（t∈R），若滿足g（x）=-1的x有四個，則t的取值范圍是（e+$\frac{1}{e}$，+∞）．

Answer 1

分析 設f（x）=λ，研究f（x）的單調性和極值，得出f（x）=λ的解的情況，從而確定關于λ的方程λ²-tλ+1=0的解的分布情況，利用二次函數的性質得出t的范圍．

解答 解：f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x{e}^{x}，x≥0}\\{-x{e}^{x}，x＜0}\end{array}\right.$，
當x≥0時，f′（x）=e^x+xe^x=（1+x）e^x＞0，
∴f（x）在[0，+∞）上是增函數，
當x＜0時，f′（x）=-e^x-xe^x=（-1-x）e^x，
∴當x＜-1時，f′（x）＞0，當-1＜x＜0時，f′（x）＜0，
∴f（x）在（-∞，-1]上是增函數，在（-1，0）上是減函數．
當x=-1時，f（x）取得極大值f（-1）=$\frac{1}{e}$．
令f（x）=λ，
又f（x）≥0，f（0）=0，
則當λ＜0時，方程f（x）=λ無解；
當λ=0或λ＞$\frac{1}{e}$時，方程f（x）=λ有一解；
當λ=$\frac{1}{e}$時，方程f（x）=λ有兩解；
當0＜λ＜$\frac{1}{e}$時，方程f（x）=λ有三解．
∵g（x）=f²（x）-tf（x）=-1有四個不同的實數解，
∴關于λ的方程λ²-tλ+1=0在（0，$\frac{1}{e}$）和（$\frac{1}{e}$，+∞）上各有一解，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{t}^{2}-4＞0}\\{\frac{1}{{e}^{2}}-\frac{t}{e}+1＜0}\end{array}\right.$，解得t$＞e+\frac{1}{e}$．
故答案為（e+$\frac{1}{e}$，+∞）．

點評 本題考查了函數的零點個數與單調性和極值的關系，二次函數的性質，換元法解題思想，屬于中檔題．