Question

11．在平面直角坐標系xoy中，點P到兩點$（{0，\sqrt{3}}），（{0，-\sqrt{3}}）$的距離之和等于4，設點P的軌跡為C
（1）寫出曲線C的標準方程
（2）設直線y=kx+1與曲線C交于A，B兩點，求當k為何值時，能使∠AOB=90°？
（3）在（2）的條件下，求|AB|的值．

Answer 1

分析 （1）由題意可得：點P的軌跡C為橢圓，設標準方程為：$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{x}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0），則c=$\sqrt{3}$，a=2，b²=a²-c²=1，解出可得橢圓的標準方程．
（2）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直線方程與橢圓聯立，化為：（k²+4）x²+2kx-3=0，△＞0恒成立，由∠AOB=90°，可得$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$=x₁•x₂+y₁y₂=（1+k²）x₁•x₂+k（x₁+x₂）+1=0，把根與系數的關系代入解得k．
（3）在（2）的條件下，x₁+x₂=$\frac{-2k}{{k}^{2}+4}$=$±\frac{4}{17}$，x₁•x₂=-$\frac{12}{17}$，利用|AB|=$\sqrt{（1+{k}^{2}）[（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}]}$即可得出．

解答 解：（1）由題意可得：點P的軌跡C為橢圓，設標準方程為：$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{x}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0），
則c=$\sqrt{3}$，a=2，b²=a²-c²=1，可得橢圓的標準方程為：$\frac{{y}^{2}}{4}+{x}^{2}$=1．
（2）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），聯立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+1}\\{\frac{{y}^{2}}{4}+{x}^{2}=1}\end{array}\right.$，化為：（k²+4）x²+2kx-3=0，
△=4k²+12（k²+4）＞0恒成立，
x₁+x₂=$\frac{-2k}{{k}^{2}+4}$，x₁•x₂=$\frac{-3}{{k}^{2}+4}$，
∵∠AOB=90°，∴$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$=x₁•x₂+y₁y₂=x₁•x₂+（kx₁+1）（kx₂+1）=（1+k²）x₁•x₂+k（x₁+x₂）+1=0，
∴（1+k²）•$\frac{-3}{{k}^{2}+4}$+$\frac{-2{k}^{2}}{{k}^{2}+4}$+1=0，
解得k=$±\frac{1}{2}$．滿足△＞0．
∴當k=$±\frac{1}{2}$時，能使∠AOB=90°．
（3）在（2）的條件下，x₁+x₂=$\frac{-2k}{{k}^{2}+4}$=$±\frac{4}{17}$，x₁•x₂=$\frac{-3}{{k}^{2}+4}$=-$\frac{12}{17}$，
|AB|=$\sqrt{（1+{k}^{2}）[（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}]}$=$\sqrt{（1+\frac{1}{4}）[\frac{16}{1{7}^{2}}-4×（-\frac{12}{17}）]}$=$\frac{4\sqrt{65}}{17}$．

點評 本題考查了橢圓的標準方程及其性質、直線與橢圓相交弦長問題、數量積運算性質、一元二次方程的根與系數的關系，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．