Question

20．已知集合A={x|m-1≤x≤2m+3}，函數f（x）=lg（-x²+2x+8）的定義域為B．
（1）當m=2時，求A∪B、（∁_RA）∩B；
（2）若A∩B=A，求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據題意，由m=2可得A={x|1≤x≤7}，由并集定義可得A∪B的值，由補集定義可得∁_RA={x|x＜1或x＞7}，進而由交集的定義計算可得（∁_RA）∩B，即可得答案；
（2）根據題意，分析可得A⊆B，進而分2種情況討論：①、當A=∅時，有m-1＞2m+3，②、當A≠∅時，有$\left\{\begin{array}{l}{m-1≤2m+3}\\{m-1＞-2}\\{2m+3＜4}\end{array}\right.$，分別求出m的取值范圍，進而對其求并集可得答案．

解答 解：（1）根據題意，當m=2時，A={x|1≤x≤7}，B={x|-2＜x＜4}，
則A∪B={x|-2＜x≤7}，
又∁_RA={x|x＜1或x＞7}，
則（∁_RA）∩B={x|-2＜x＜1}，
（2）根據題意，若A∩B=A，則A⊆B，
分2種情況討論：
①、當A=∅時，有m-1＞2m+3，解可得m＜-4，
②、當A≠∅時，
若有A⊆B，必有$\left\{\begin{array}{l}{m-1≤2m+3}\\{m-1＞-2}\\{2m+3＜4}\end{array}\right.$，解可得-1＜m＜$\frac{1}{2}$，
綜上可得：m的取值范圍是：（-∞，-4）∪（-1，$\frac{1}{2}$）．

點評 本題考查集合間關系的判定，涉及集合間的混合運算，（2）中注意A可能為空集．